Ricevo da Mirko la seguente domanda:
Buonasera Egregio Professore,
avrei un problema di applicazione del teorema di Rolle da proporle, poiché non riesco a risolverlo.
Data la funzione: \[f(x)= \frac{a^2x^4- 8x^2+7}{4}\] determina i valori del parametro \(a\) per i quali nell’intervallo \([-|a| ,|a|]\) esiste un unico punto che soddisfa il teorema di Rolle.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Mirko,
vista la continuità e la derivabilità in tutto \(\mathbb{R}\) e, in particolare, la “parità” 
della funzione, è chiaro che in ogni intervallo \([-|a|,|a|]\) sono soddisfatte le condizioni del teorema di Rolle: esiste quindi di conseguenza almeno un punto \(c\) interno all’intervallo \([-|a| ,|a|]\) in cui sia nulla la derivata della funzione, qualunque sia \(a\ne 0\). Per ottenere l’unicità di tale punto \(c\), osserviamo la derivata della funzione: \[f'(x)=x\left( {{a}^{2}}{{x}^{2}}-4 \right)\]
Da cui si ricava che vi sono in generale tre valori di \(x\) nei quali \(f’(x)=0\), cioè \(x=0\) e \(x=\pm \frac{2}{\left| a \right|}\); poiché \(x=0\) appartiene comunque ad ogni intervallo del tipo \([-|a| ,|a|]\), affinchè tale punto sia l’unico a confermare la tesi del teorema di Rolle nell’intervallo suddetto, si tratta di imporre che gli altri due valori siano non interni all’intervallo, cioè che sia \[\frac{2}{\left| a \right|}\ge \left| a \right|\to -\sqrt{2}\le a\le \sqrt{2}\quad \quad a\ne 0\quad .\]
Massimo Bergamini