Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Professore, cortesemente un aiuto (es.210, pag.425, Matematica.blu 2.0):
L’asse maggiore di un’ellisse sia \(AB\) e \(O\) il suo centro, e sia \(F\) uno dei fuochi, \(P\) un punto sull’ellisse e \(CD\) una corda passante per \(O\) tale che \(CD\) è parallela alla tangente all’ellisse in \(P\). La retta \(PF\) e la retta \(CD\) si incontrano in \(Q\). Ricava il rapporto tra le lunghezze di \(PQ\) e \(OA\) (Taiwan National Olympiad, 2005).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
siano \(F\) ed \(F_2\) i fuochi, \(Q\) l’intersezione tra \(PF\) e \(CD\), \(Q_2\) l’intersezione tra \(PF_2\) e \(CD\). Siano \(M\), \(R\) e \(R_2\) le proiezioni di \(P\), \(F\) e \(F_2\) su \(CD\) rispettivamente. I triangoli \(PMQ\) e \(PMQ_2\) sono congruenti in quanto rettangoli, con il cateto \(PM\) in comune e con gli angoli \({{Q}}\hat{P}M\) e \({{Q}_{2}}\hat{P}M\) congruenti in conseguenza della proprietà “ottica” dell’ellisse (un “raggio” uscente da un fuoco viene “riflesso” nell’altro fuoco), quindi \(P{{Q}}\cong P{{Q}_{2}}\). Anche i triangoli \(FR_1Q_1\) e \(F_2Q_2R_2\) sono congruenti in quanto rettangoli, con \(FR\cong {{F}_{2}}{{R}_{2}}\) e \(F\hat{Q}R\cong {{F}_{2}}{{\hat{Q}}_{2}}{{R}_{2}}\) (i triangoli \(FRO\) e \(F_2R_2O\) sono simmetrici, quindi congruenti), e quindi: \[AB=PF+P{{F}_{2}}=FQ+QP+P{{Q}_{2}}-{{Q}_{2}}{{F}_{2}}=\] \[=\overline{QP}+{{\overline{PQ}}_{2}}=2\overline{PQ}\Rightarrow \overline{PQ}=\frac{\overline{AB}}{2}\]
e poiché \(\overline{AB}=2\overline{AO}\), si ha:\[\frac{\overline{PQ}}{\overline{OA}}=1\quad .\]
Massimo Bergamini
