Arco di ipocicloide

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
come si imposta questo esercizio?
Determinare la lunghezza dell’arco di ipocicloide
\[x=3\cos \vartheta +2\cos \frac{3}{2}\vartheta ,\quad y=3\sin \vartheta -2\sin \frac{3}{2}\vartheta \quad \quad 0\le \vartheta \le \frac{2}{5}\pi \quad .\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
le assegnate equazioni parametriche rappresentano l’ipocicloide generata dal rotolamento di una circonferenza di raggio \(r_1=2\) lungo l’interno di una circonferenza di raggio \(r_2=5\), che risulta essere una curva chiusa continua, a forma stellata con cinque cuspidi, differenziabile in ogni punto ad eccezione delle cuspidi. La periodicità delle equazioni è \(4\pi\), cioè il minimo periodo comune ai periodi \(2\pi\) e \(4\pi/3\) dei due addendi di ciascuna equazione. L’arco \(AB\) in questione, come si può osservare nella rappresentazione grafica, rappresenta la decima parte della lunghezza dell’intera curva, che presenta una completa simmetria pentagonale.  Poiché l’elemento di lunghezza è dato da            \[ds=\sqrt{d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{dx}{d\vartheta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{dy}{d\vartheta } \right)}^{2}}}d\vartheta\] otteniamo:         \[{{\left( \frac{dx}{d\vartheta } \right)}^{2}}={{\left( -3\sin \vartheta -3\sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)}^{2}}=9{{\sin }^{2}}\vartheta +9{{\sin }^{2}}\frac{3}{2}\vartheta +18\sin \vartheta \sin \frac{3}{2}\vartheta \] \[{{\left( \frac{dy}{d\vartheta } \right)}^{2}}={{\left( 3\cos \vartheta -3\cos \frac{3}{2}\vartheta  \right)}^{2}}=9{{\cos }^{2}}\vartheta +9{{\cos }^{2}}\frac{3}{2}\vartheta -18\cos \vartheta \cos \frac{3}{2}\vartheta \] \[{{\left( \frac{dx}{d\vartheta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{dy}{d\vartheta } \right)}^{2}}=18-18\left( \cos \vartheta \cos \frac{3}{2}\vartheta -\sin \vartheta \sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)=18\left( 1-\cos \frac{5}{2}\vartheta  \right)\] per cui la lunghezza \({{l}_{AB}}\) dell’arco \(AB\) in questione è data da:            \[3\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi /5}{\sqrt{1-\cos \frac{5}{2}\vartheta }}d\vartheta \quad .\]
Utilizzando successive sostituzioni di variabile (\(t=\sqrt{1-\cos \frac{5}{2}\vartheta }\to 4tdt=5\sin \frac{5}{2}\vartheta d\vartheta \), \(p=\sqrt{2-{{t}^{2}}}\to pdp=-tdt\)) otteniamo: \[3\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi /5}{\sqrt{1-\cos \frac{5}{2}\vartheta }}d\vartheta =\frac{12\sqrt{2}}{5}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\frac{t}{\sqrt{2-{{t}^{2}}}}}dt=\frac{12\sqrt{2}}{5}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{}dp=\frac{24}{5}\quad .\]
Massimo Bergamini